Question

高数泰勒公式 答案中两个步骤看不懂。。求大神解答一下谢谢啦





Answer 1

　　解：①对f(x)=ln(1+sinx)展开，是先视“sinx”为整体，展开成含“自变量”为sinx的泰勒级数展开式；再将sinx的泰勒级数展开式、被要求的表达式带入，经整理即可。
　　②求g'(t)是多余的，其展开式有误。直接利用广义二项展开式“(1+x)^α=1+αx+[α(α-1)/2!]x^2……。”即可。
　　∵t→0，取前两项，∴g(t)=(1+3t)^(1/3)-(1-2t)^(1/4)=1+3t/3-[1-(2/4)t]+o(t)=(3/2)t+o(t)。
　　供参考。

追问

第二题弄懂了，但是第一题方框内的部分还是不知道这一步是怎么化得。。

追答

　　换个角度来理解。设y=sinx，则ln(1+sinx)=ln(1+y)=y-(1/2)y^2+(1/3)y^3+O(y^3)①，
　　y=sinx=x-(1/6)x^3+O(x^3)，
　　∴y^2=[x-(1/6)x^3+O(x^3)]^2=x^2-(1/3)x^4+(1/36)x^6+O(x^6)=x^2-(1/3)x^4+O(x^4)，
　　y^3=[x-(1/6)x^3+O(x^3)]^3=x^3-(1/2)x^5+O(x^6)=x^3+O(x^4),
　　将y、y^2、y^3代入①中，即得。
　　供参考。

追问

懂了懂了，万分感谢