Question

设a为实数,函数f(x)=e^x-2x+2a,x∈R,

(1)求函数的单调区间与极值（2）求证当a＞ln2-1,x＞0时，e^x＞x^2－2ax+1

Answer 1

（1）解：∵f（x）=ex-2x+2a，x∈R，
∴f′（x）=ex-2，x∈R．
令f′（x）=0，得x=ln2．
于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：
x（-∞，ln2）ln2（ln2，+∞）f′（x）-0+f（x）单调递减2（1-ln2+a）单调递增故f（x）的单调递减区间是（-∞，ln2），
单调递增区间是（ln2，+∞），
f（x）在x=ln2处取得极小值，
极小值为f（ln2）=eln2-2ln2+2a=2（1-ln2+a）．
（2）证明：设g（x）=ex-x2+2ax-1，x∈R，
于是g′（x）=ex-2x+2a，x∈R．
由（1）知当a＞ln2-1时，
g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1-ln2+a）＞0．
于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．
于是当a＞ln2-1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．
而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．
即ex-x2+2ax-1＞0，
故ex＞x2-2ax+1．

Answer 2

f(x)=e^x-2x+2a
(1) f'(x)=e^x-2
令f'(x)>0 即e^x-2>0 则单调增区间为 x>ln2;
令f'(x)<0 即e^x-2<0 则单调减间为 x<ln2;
说明函数在f'(x)=0 （x=ln2）时取到最小值。
所以
f(ln2)=e^(ln2)-2*ln2+2a=2(a+1)-2ln2
2）
设F(x)=x^2-2ax+1-e^x,x>0,
则F'(x)=-2x＋e^x＋2a
所以F'(x)=f(x)

Answer 3

设a为实数,函数f(x)=e^x-2x+2a,x∈R,
悬赏分：0 - 离问题结束还有 14 天 22 小时
(1)求函数的单调区间与极值（2）求证当a＞ln2-1,x＞0时，e^x＞x^2－2ax+1

f(x)=e^x-2x+2a
(1) f'(x)=e^x-2
令f'(x)>0 即e^x-2>0 则单调区间为 x>ln2;
令f'(x)<0 即e^x-2<0 则单调区间为 x<ln2;
函数的单调性，说明了函数是个先是单调增加，
然后单调减少，说明函数在f'(x)=0 （x=ln2）时取到最大值。
所以
f(ln2)=e^(ln2)-2*ln2+2a=2(a+1)-ln2

(2)
就是要证明： x^2-2ax+1-e^x<0,

设F(x)=x^2-2ax+1-e^x,x>0,
则F'(x)=2x-e^x-2=-(e^x-2x+2a)+2a-2,

=-f(x)+2a-2,

由（1）得到，f(x)>=f(x)min =2-ln4+2a

suoyi : F'(x)=-f(x)+2a-2 =< -(2-ln4+2a)+2a-2=ln4-4<0,
suoyi: F(x)在定义域单调减
当x=0时，F(0)=0,

suoyi : F(x)在定义域单调减

当x=0 F(0)=0,
suoyi :F(x)<F(0)=0,

即x^2-2ax+1-e^x<0

suoyi :e^x>x^2-2ax+1

Answer 4

话说这个答案不会是标准答案吧