Question

如图,⊙O是△ABC的外接圆,AE平分∠BAC交⊙O于点E,交BC于点D,过点E做直线l∥BC

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E做直线l∥BC． （1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF； （3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．

Answer 1

（1）直线l与⊙相切。

证明：

连接EO并延长，交⊙O于G，连接BG，

∵直线l//BC，

∴∠1=∠CBE，

∵AE平分∠BAC，

∴弧BE=弧CE，

∴∠BGE=∠CBE（等弧对等角），

∴∠1=∠BGE，

∵EG是⊙O的直径，

∴∠EBG=90°，

∴∠BGE+∠BEG=90°，

∴∠1+∠BEG=90°，

∴GE⊥直线l，

∴直线l与⊙相切。

（2）

证明：

∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，

∴∠BAE=∠CAE，∠ABF=∠CBF，

∵∠CBE=∠CAE，

∴∠BAE=∠CBE，

∵∠BFE=∠BAE+∠ABF，

  ∠FBE=∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF，

∴∠BFE=∠FBE，

∴BE=EF。

（3）

解：

∵EF=DE+DF=4+3=7，

∴BE=EF=7，

在△BDE和△ABE中，

∠DBE=∠BAE，∠BED=∠AEB，

∴△BDE∽△ABE（AA），

∴BE/AE=DE/BE，

7/（AF+7）=4/7

AF+7=49/4

AF=21/4.