Question

求教：已知正项数列｛an｝，其前N项和Sn满足10Sn=an^2+5an+6,且a1，a3，a15成等比数列，求｛an｝通项公式

已知正项数列｛an｝，其前N项和Sn满足10Sn=an^2+5an+6,且a1，a3，a15成等比数列，求数列｛an｝的通项公式。

Answer 1

已知 10Sn=an^2+5an+6 式1
当n>1时， 10S（n-1）=a（n-1）^2+5a（n-1）+6 式2
式1减式2 得
10Sn-10S（n-1）=an^2+5an+6-a（n-1）^2-5a（n-1）-6
化简得到
[an-a(n-1)][an+a(n-1)]=5[an+a(n-1)] 式3
注：a(n-1)是 an的上一项
当an+a(n-1)=0时，即an=-a(n-1)
数列{an}即为等比数列 其公比为 q=-1；
当an+a(n-1)不为0时，式3 两边可以消去 an+a(n-1) 得到
[an-a(n-1)]=5
数列{an}就为等差数列 其公差是 d=5；

10Sn=an^2+5an+6
当n=1时， 可得
10a1=a1^2+5a1+6
得到 a1=2 or a1=3；

再根据a1，a3，a15成等比数列 可得：
a3^2=a1*a15 式4
看式4 是否满足上面的等比数列或者等差数列
等比数列验证： (a1*q^2)=a1*a1*q^14 q^2=q^14=1 满足
an=a1*q^(n-1)
an=2*(-1)^(n-1) or an=3*(-1)^(n-1)
等差数列验证：（a1+2d）^2=a1*(a1+a1+14d) 式5
显然 当a1=2or3 式5 不成立。
最后结论：an=2*(-1)^(n-1) or an=3*(-1)^(n-1)

好久没玩高中数学了，不知道对不对，希望分析对你有帮助。