Question

设f(x)是R上的函数。且满足f(0)=1,并且对任意实数x , y,有f(x-y)= f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的表达式

Answer 1

1.赋值法
exp：已知函数f(x),且f(0)=0，f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)
解：方法一：令y=x，则有f(x-y)=f(0)=1=f(x)-2x^2+x^2-x
整理得f(x)=x^2+x+1

方法2：令x=0
则f(x-y)=f(-y)=f(0)-y(-y+1)
f(-y)=1-y(-y+1)
即f(x)=x^2+x+1

换元法：
exp:f( (1-x)/(1+x) )=(1-x^2）/(1+x^2),求f(x)
解，令(1-x)/(1+x)=t
则x=(1-t)/(1+t)
把这两个等式带入可得:f(t)=...=2t/(1+t^2)
即f(x)=2x/(1+x^2）

方程组：还是PP问我的题，今天老师讲了
f(x)+2f(1/x)=2x，求f(x)
解题思路，分别令x等于t，和t分之一，就能得到两个关于f(t)和f（1/t)的方程组，利用加减消元就可解得f(x)了

Answer 2

因为对一切实数x,y都成立
令x=y
则f(x-y)=f(x)-y(2x-Y+1)
等价于f(0)=f(x)-x(2x-x+1)
又因为f(0)=1
所以f(x)-x(2x-x+1)＝1
解得f(x)=x^2+x+1