Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数，都有f（ab）=af（b）+bf（a）成立 （1）求f（1）和f（-1）

（2）确定f（x）奇偶性

Answer 1

1. 令a=b=1，由f（ab）=af（b）+bf（a）知f(1×1)=1×f(1)＋1×f(1),得f（1）=2f（1），所以f（1）=0，再令a=0，b=1，f(0)=f(0×0)=0×f(0)+0×f(0)=0,所以f(0)=0
f(0)=f(-1×0)=-1×f(0)+0×f(-1)=0,得f(-1)=0

2.令a=-1，b=x，得f(-x)=f(-1×x)=-1×f(x)+xf(-1),代入f(-1)=0，得f(-x)=-f(x),可知f(x)是个奇函数

Answer 2

设a=1,b=1
f（1*1）=f（1）+f（1）即f（1）=f（1）+f（1）=2f（1）
所以f（1）=0
设a=-1，b=-1 f（-1*-1）=-f（-1）-f（-1）即f（1）=-2f（-1）
同于0=-2f（-1）所以f（-1）=0

因为x取1，-1这对相反数f（x）的值相同
所以是偶函数