判断函数f(x)=ax/(x^2-1)在区间(-1,1)的单调性,并用定义加以证明。
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解:因为:f(x)=ax/(x^2-1)
所以:f'(x)=[a(x^2-1)-ax(2x)]/(x^2-1)^2
f'(x)=(ax^2-a-2ax^2)/(x^2-1)^2
f'(x)=-a(x^2+1)/[(x+1)(x-1)]^2
当a<0时,f'(x)>0,为减函数;
当a>0时,f'(x)<0,为增函数。
所以:f'(x)=[a(x^2-1)-ax(2x)]/(x^2-1)^2
f'(x)=(ax^2-a-2ax^2)/(x^2-1)^2
f'(x)=-a(x^2+1)/[(x+1)(x-1)]^2
当a<0时,f'(x)>0,为减函数;
当a>0时,f'(x)<0,为增函数。
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f(x)=ax/(x^2-1)=a/(x-1/x)
设 g(x)=x-1/x,
0>m>n>-1时
g(m)-g(n)
=(m-n)(1-1/mn)<0
f(m)-f(n)=a/g(m)-a/g(n)
当a>0时,递减;a<0,递增
同理 1>m>n>0时......
当a=0,无单调性;当a>0,递减;当a<0,递增
设 g(x)=x-1/x,
0>m>n>-1时
g(m)-g(n)
=(m-n)(1-1/mn)<0
f(m)-f(n)=a/g(m)-a/g(n)
当a>0时,递减;a<0,递增
同理 1>m>n>0时......
当a=0,无单调性;当a>0,递减;当a<0,递增
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因为x∈(-1,1),所以x^2<1,即x^2-1<0
设x1,x2∈(-1,1),且x1>x2,则x1x2+1>0
则f(x1)-f(x2)
=-a(x1-x2)(x1x2+1)/[(x1^2-1)(x2^2-1)]
当a=0时,函数为常函数,无单调性;当a>0时,单调递减;当a<0时,单调递增
设x1,x2∈(-1,1),且x1>x2,则x1x2+1>0
则f(x1)-f(x2)
=-a(x1-x2)(x1x2+1)/[(x1^2-1)(x2^2-1)]
当a=0时,函数为常函数,无单调性;当a>0时,单调递减;当a<0时,单调递增
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-1<x1<x2<1;f(x1)-f(x2)=a[(x1*x2-1)(x2-x1)]/[(x1^2-1)(x2^2-1)];-1<x1<x2<1,所以x1*x2-1<0;x2-x1>0;x1^2<1;x2^2<1;所以[(x1*x2-1)(x2-x1)]/[(x1^2-1)(x2^2-1)]<0;a>0 f(x1)<f(x2),f(x)增;a<0;f(x1)>f(x2);f(x)减
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