Question

为什么“并非每个周期函数都有最小正周期

Answer 1

周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期，譬如狄利克雷函数。狄利克雷函数是周期函数，但是却没有最小正周期，它的周期是任意负有理数和正有理数。因为不存在最小负有理数和正有理数，所以狄利克雷函数不存在最小正周期。

设f（x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f（x+T）=f（x），则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。

扩展资料

周期函数的性质共分以下几个类型：

1、若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。

2、若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。

3、若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。

4、若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

5、若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。

6、周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。

参考资料来源：百度百科-狄利克雷函数

参考资料来源：百度百科-周期函数

Answer 2

函数是周期函数，它不一定存在最小正周期。
如狄立克莱函数D(x)=1(当x为有理数时），D(x)=0(当x为无理数时）。任意一个正数都是它的周期，故没有最小正周期。

Answer 3

不是的，有些周期函数是没最小正周期的。
例如常数函数f（x）=2之类的，所有正实数都是其周期，但是没有最小的正实数，所以这类函数没有最小正周期。