Question

是不是每个周期函数都有最小正周期

Answer 1

不是所有周期函数都有最小正周期。周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，存在没有最小正周期的函数，而这个函数就是狄利克雷函数。

狄利克雷函数（是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。

扩展资料

周期函数定理，一共分一下几个类型。

定理1

若f（x）是在集M上以T*为最小正周期的周期函数，则K f（x）+C（K≠0）和1/ f（x）分别是集M和集{X/ f（x） ≠0，X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。

证：

∵T*是f（x）的周期，∴对 有X±T* 且f（x+T*）= f（x），∴K f（x）+C=K f（x+T*）+C，

∴K f（x）+C也是M上以T*为周期的周期函数。

假设T* 不是Kf（x）+C的最小正周期，则必存在T’（0<T’<T*）是K f（x）+C的周期，则对T’（0<T’<T*）是K f（x）+C的周期，有K f（x+T’）+C=K f（x） +C K[f（x+T’）- f（x）]=0，∵K≠0，∴f（x+T’）- f（x）=0，∴f（x+T’）= f（x），

∴T’是f（x）的周期，与T*是f（x）的最小正周期矛盾，∴T*也是K f（x）+C的最小正周期。

同理可证1/ f（x）是集{X/ f（x） ≠0，X }上的以T*为最小正周期的周期函数。

定理2

若f（x）是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f（ax+n）是集{x|ax+b∈M}上的以T*/ a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。