Question

是不是每个周期函数都有最小正周期

Answer 1

不是所有周期函数都有最小正周期。周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，存在没有最小正周期的函数，而这个函数就是狄利克雷函数。

狄利克雷函数（是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。

扩展资料

周期函数定理，一共分一下几个类型。

定理1

若f（x）是在集M上以T*为最小正周期的周期函数，则K f（x）+C（K≠0）和1/ f（x）分别是集M和集{X/ f（x） ≠0，X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。

证：

∵T*是f（x）的周期，∴对 有X±T* 且f（x+T*）= f（x），∴K f（x）+C=K f（x+T*）+C，

∴K f（x）+C也是M上以T*为周期的周期函数。

假设T* 不是Kf（x）+C的最小正周期，则必存在T’（0<T’<T*）是K f（x）+C的周期，则对T’（0<T’<T*）是K f（x）+C的周期，有K f（x+T’）+C=K f（x） +C K[f（x+T’）- f（x）]=0，∵K≠0，∴f（x+T’）- f（x）=0，∴f（x+T’）= f（x），

∴T’是f（x）的周期，与T*是f（x）的最小正周期矛盾，∴T*也是K f（x）+C的最小正周期。

同理可证1/ f（x）是集{X/ f（x） ≠0，X }上的以T*为最小正周期的周期函数。

定理2

若f（x）是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f（ax+n）是集{x|ax+b∈M}上的以T*/ a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。

Answer 2

并不是所有周期函数都存在最小正周期。

例知，常数函数 f ( x ) = C ( C 为常数) ，x ∈R ，当 x 为定义域内的任何值时，函数值都是 C ，即对于函数 f( x)的定义域内的每一个值 x ，都有 f ( x + T ) ＝ C 。

因此 f (x)是周期函数，由于 T 可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以 f (x)没有最小正周期。

当自变量增大任意实数时（自变量有意义），函数值有规律的重复出现。

假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T)，则说T是函数的一个周期。T的整数倍也是函数的一个周期。

扩展资料

对于函数y=f（x），假如存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。

“当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现”这句话用数学语言的表达。

对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。

对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。）

在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。

参考资料来源：百度百科-周期函数

Answer 3

不是所有周期函数都有最小正周期。周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，存在没有最小正周期的函数，而这个函数就是狄利克雷函数。

狄利克雷函数（是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。

实数域上的狄利克雷（Dirichlet）函数表示为：

（k，j为整数）也可以简单地表示分段函数的形式D(x)= 0（x是无理数）或1（x是有理数）

假设f(x)=0，x为无理数

f(x)=1，x为有理数

由有理数和无理数的运算法则可以知道，所有的有理数与有理数的和都是有理数，与无理数的和都是无理数。

那么对于这个函数而言，取T为任意有理数，就都满足了，无论x是有理数还是无理数，这就意味着狄利克雷就是一个周期函数。它的最小正周期是最小的有理数，而显然是不存在最小的有理数的，因而这个函数也就没有最小正周期了。

扩展资料

对于函数f(x)，如果存在一个不为0的正数T，使得当x取定义域中的每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，那么称f(x)是周期函数，T称为这个函数的周期。如果函数f(x的所有周期中存在最小值T0，称T0为周期函数f(x)的最小正周期。

周期函数的性质共分以下几个类型：

1、若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。

2、若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。

3、若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。

4、若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

5、若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。

6、周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。

参考资料来源：百度百科-狄利克雷函数

参考资料来源：百度百科-周期函数

Answer 4

不是的，有些周期函数是没最小正周期的。
例如常数函数f（x）=2之类的，所有正实数都是其周期，但是没有最小的正实数，所以这类函数没有最小正周期。