如图，在三角形ABC中，角ABC为60度，AB＝3，BC＝5，以AC为边作正三角形ACD
如图，在三角形ABC中，角ABC为60度，AB＝3，BC＝5，以AC为边作正三角形ACD，求BD...
如图，在三角形ABC中，角ABC为60度，AB＝3，BC＝5，以AC为边作正三角形ACD，求BD
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解：以AB为边向左做等边三角形ABE，连接DE ，分别过点D做DM垂直AE于M ,DN垂直BC交BC的延长线于N
所以AB=BE=AE=3
角ABC=角AEB=60度
角DMA=角DME=90度
角DNC=角DNB=90度
所以角DME=角DNB=90度
三角形DMA和三角形DNC是直角三角形
因为三角形ACD是等边三角形
所以AC=AD=CD
角CAD=角ACD=角ADC=60度
所以角ADC=角AEB=60度
所以A ,D ,C ,E四点共圆
所以角AED=角ACD=60度
角CAD=角CED=60度
所以角AED=角CED=60度
因为DE=DE
所以三角形DME全等三角形DNE (AAS)
所以DM=DN
ME=NE
所以直角三角形DMA和直角三角形DNC全等（HL)
所以AM=CN
因为BC=BE+CE=5
所以CE=5-3=2
因为ME=AE-AM=3-AM=3-CN
NE=CE+CN=2+CN
所以3-CN=2+CN
CN=1/2
NE=5/2
因为角CED+角EDN+角DNE=180度
所以角EDN=30度
所以在直角三角形DNE中，角DNE=90度 ，角EDN=30度
所于NE=1/2DE
DE^2=DN^2+NE^2
所以DN=5倍根号3/2
在直角三角形DNB中，角DNE=90度
所以BD^2=BN^2+DN^2
因为BN=BC+CN=11/2
所以BD=7
所以AB=BE=AE=3
角ABC=角AEB=60度
角DMA=角DME=90度
角DNC=角DNB=90度
所以角DME=角DNB=90度
三角形DMA和三角形DNC是直角三角形
因为三角形ACD是等边三角形
所以AC=AD=CD
角CAD=角ACD=角ADC=60度
所以角ADC=角AEB=60度
所以A ,D ,C ,E四点共圆
所以角AED=角ACD=60度
角CAD=角CED=60度
所以角AED=角CED=60度
因为DE=DE
所以三角形DME全等三角形DNE (AAS)
所以DM=DN
ME=NE
所以直角三角形DMA和直角三角形DNC全等（HL)
所以AM=CN
因为BC=BE+CE=5
所以CE=5-3=2
因为ME=AE-AM=3-AM=3-CN
NE=CE+CN=2+CN
所以3-CN=2+CN
CN=1/2
NE=5/2
因为角CED+角EDN+角DNE=180度
所以角EDN=30度
所以在直角三角形DNE中，角DNE=90度 ，角EDN=30度
所于NE=1/2DE
DE^2=DN^2+NE^2
所以DN=5倍根号3/2
在直角三角形DNB中，角DNE=90度
所以BD^2=BN^2+DN^2
因为BN=BC+CN=11/2
所以BD=7
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