Question

一道函数题 帮帮忙

已知函数f(x)=loga （a的x次方-1），（0＜a＜1）
（1）求f(x)的定义域
（2）证明在定义域内f(x)是增函数
（3）设a=1/4，清求出满足f（2x）=f-1（x）的x的值

Answer 1

(1)求定义域 a^x-1>0 a^x>a^0
a>1时，定义域 x>0
0<a<1时，定义域 x<0
(2)
a>1时，令m>n>0
f(m)-f(n)=loga[(a^m-1)/(a^n-1)]
a>1,a^x是增函数，a^m>a^n,所以a^m-1>a^n-1
又n>0,所以a^m-1>a^n-1>0
所以(a^m-1)/(a^n-1)>1
a>1,所以loga[(a^m-1)/(a^n-1)]>0
所以m>n>0时
f(m)>f(n)
增函数

0<a<1，令m<n<0
f(m)-f(n)=loga[(a^m-1)/(a^n-1)]
0<a<1,a^x是减函数，a^m>a^n,所以a^m-1>a^n-1
又n<0,a^n>1,所以a^m-1>a^n-1>0
所以(a^m-1)/(a^n-1)>1
0<a<1,loga x是减函数，所以loga[(a^m-1)/(a^n-1)]<loga 1=0
所以m<n<0时
f(m)<f(n)
增函数

所以不论是a>1,还是0<a<1,f(x)都是增函数

(3)f^-1(x)＝loga(a^x+1)
f（2x）=loga(a^2x-1)
由f（2x）=f-1（x）
所以loga(a^2x-1)＝loga(a^x+1)
a^2x-1=a^x+1
a^2x-a^x-2=0
设t=a^x>0
t^2-t-2=0
(t-2)(t+1)=0
t=2=a^x
x=loga(2)
当a=1/4时
x=loga(2)=x=log1/4(2)=-1/2