高数,闭区间上连续函数的性质题目
2个回答
2017-10-17
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令g(x)=f(x)-x
因为在闭区间[a,b]上,f(x)和x都是连续函数,所以g(x)也是连续函数。
而g(a)=f(a)-a>0,g(b)=f(b)-b<0
根据零点存在定理:连续函数在闭区间的两个端点的函数值符号相反,那么在其区间内部必然有零点存在
所以至少存在一个ξ,满足g(ξ)=0
即f(ξ)-ξ=0
即f(ξ)=ξ
因为在闭区间[a,b]上,f(x)和x都是连续函数,所以g(x)也是连续函数。
而g(a)=f(a)-a>0,g(b)=f(b)-b<0
根据零点存在定理:连续函数在闭区间的两个端点的函数值符号相反,那么在其区间内部必然有零点存在
所以至少存在一个ξ,满足g(ξ)=0
即f(ξ)-ξ=0
即f(ξ)=ξ
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