Question

已知函数f(X)的定义域为[0,1]，求f(1-2x)的定义域 这种类型的题目要怎么做

求解答过程及思路谢谢
还有三个问题

1已知f(x+1/x)=x^3+1/x^3,求f(x)

2已知f(x)的定义域为自然数集N，且满足条件f(x+1)=f(x)+f(y)+xy,且有f(1)=1,求f(x)

3函数f(x)对任意的a,b属于R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x>0时，f(x)>1
(1)探求f(x)在R上的单调性，并加以证明
(2)若f(4)=5，解不等式f(m+2)<3

之前的问题太简单我手滑按错悬赏分..现在这三题同样求【解答+思路】，最主要是思路：这类问题该如何解。我将把这100分给详细的解答者谢谢。

Answer 1

第一题
f(x+1/x)
=x^3+1/x^3
=(x+1/x)(x^2-1+1/x^2)【立方和展开】
=(x+1/x)[(x+1/x)^2-2-1]【配方成平方和】
=(x+1/x)[(x+1/x)^2-3]
令T = x+1/x，得：
f(T)=T(T^2-3)【换元】
再令x=T得：
f(x)=x(x^2-3)

第二题吧
第①步：f(x+1)=f(x)+f(y)+xy 观察一下这个式子，因为要求f(x) 所以把 有f(x+1) 、 f(x)的项移动到同一边
即 f(x+1)-f(x)=f(y)+xy

第②步：【想办法去掉y 那么就利用所给出的条件f(1)=1 】
令y=1 【这样y就没了】
由此得到式子 f(x+1)-f(x)=f(1)+x=1+x 【注：这个式子跟原题的式子其实没区别，后面就直接用这个式子来做了】

第③步：f(x+1)-f(x)=1+x
【观察一下 只要将x的值取自然数集里的代入 可以发现规律】
当x=1，f(2)-f(1)=2 ①
当x=2，f(3)-f(2)=3 ②
…… ……
f(x+1)-f(x)=1+x
f(x)-f(x-1)=x ＠
【观察可知：这是数列的题 于是全部相加 很多项可以正负抵消 】
第④步：
将①+②+……+@有：
f(2)-f(1)+f(3)-f(2)+f(4)-f(3)+……+f(x+1)-f(x)+ f(x)-f(x-1)=2+3+4+……+x
得： f(x)-f(1)=2+3+……x
由于f(1)=1
则 f(x)=1+2=3+……+x
【可以看出 f(x)是等差数列的和】

最后一步：直接由求和公式可知
f(x)=x(x+1)/2

第三题
1）
设x2>x1
则x2-x1>0
推出 f(x2-x1)>1

f(x2)=f(x1+(x2-x1))=f(x1)+f(x2-x1)-1>f(x1)+1-1

得出 f(x2)>f(x1)
因此函数是单调递增。

【求单调性的时候，直接设x2>x1 然后去求f(x2)与f(x1)的大小就可以了】
第三题第二问:
f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1
得出f(2)=(f(4)+1)/2=(5+1)/2=3
即：f(2)=3
因此不等式
f(m+2)<3 推出 f(m+2)<f(2)
利用函数单调性增函数
所以当f(m+2)<f(2)时 m+2<2
求出m<4

第二题的补充：
f(x2)=f(x1+(x2-x1))=f(x1)+f(x2-x1)-1>f(x1)+1-1

这个意思是：把 x2 写成 x1+(x2-x1） 这个是同等的对吧

然后 f(x2)就能写成 f(x1+(x2-x1))

然后根据题目所给条件
f(a+b)=f(a)+f(b)-1
对于这个式子 f(x1+(x2-x1))
a 相当于 x1
b 相当于 x2-x1
可以得到：f(x1+(x2-x1)) = f(x1)+f(x2-x1)-1
【 f(a + b ) = f(a) + f(b) -1 】【这个是对比较的】

对于式子f(x1+(x2-x1)) = f(x1)+f(x2-x1)-1
【设x2>x1 则x2-x1>0 推出 f(x2-x1)>1 】这个是开始就证明过的

因为 f(x2-x1)>1
所以 f(x1+(x2-x1)) = f(x1)+f(x2-x1)-1
> f(x1) + 1 -1 【我是跟上面的式子对齐排列的便于比较】

Answer 2

函数f(X)的定义域为[0,1]，
这说明0<=x<=1
而f(x）中的X相当于f(1-2x)中的1-2x
∴0<=1-2x<=1
∴0<=x<=1/2
即f(1-2x)的定义域为【0，1/2】

Answer 3

你是要想出来，我觉得楼上方法太死，这种题要想的出来才算掌握

他说f(x)定义域为[0,1]
先从简单的入手，来看看f(2x)的定义域，你想想，2x意味着所有函数值增加一倍，原函数只有【0,1】才能取到值，如果函数值都增加一倍，如果还取【0,1】这个区间的话，所得的值都是原函数的两倍，照此思想只需取【0,1/2】就可以满足所有的原函数值，现在我们推广到f(-2x),同理，扩大2倍以后再在所有值前加个负号，也就是【-1/2,0】，再看f（1-2x),同理，我们得到【0,1/2】，因此，为了方便，我们引入了楼上几位的做法，实际上这种方法在我看来就是为了想的方便而发明的
这里还有一个方法，更加直观易懂你假设f(x)=x,把f(x),f(2x)，f(-2x)...的图像都画出来就可以发现规律了

Answer 4

函数f(X)的定义域为[0,1]，则 0=<1-2x<=1,则x取值范围为[0,0.5]，
f(1-2x)的定义域为x的取值范围即[0,0.5]，

Answer 5

[0,0.5]
梦莹如果你看了一群楼上的还不明白咱们私聊……
关键就是，你要把（1-2x）看成x

Answer 6

此类问题一般采用换元法求解，换元的意思就是把未知的看做已知项带入到已知的表达式条件中，满足已知条件来求解。