Question

一元函数在一个点处左连续右连续，能否推出在这个点连续。

一元函数在一个点处左连续右连续，能否推出在这个点连续。一元函数在一个点处左连续右连续，能否推出在这个点连续。

Answer 1

①不能。需要附加两个条件：

左极限等于右极限，且都等于f(x)在该点处的函数值；

②反例如下：

如图，函数f(x)在x=0的左边和右边都连续（几何直观就是“连续不断”），

但是在x=0处却呈现“断开状”。

此外，在x=0处也没有定义。

从而，f(x)在x=0处，必然不连续。

Answer 2

函数在这一点左连续且右连续则函数在这一点一定连续。
左连续是左极限等于函数值，右连续是右极限等于函数值，左右连续同时存在，说明左极限等于右极限等于函数值，所以函数在这一点处连续。
函数在一点处连续的充要条件是左连续且右连续。
另外左连续就一定保证了这点的函数值存在，否则就没有左连续一说了。

Answer 3

能的，充要条件

Answer 4

左连续就是左极限等于该点函数值，所以例子有问题吧。

Answer 5

同济7版高等数学对于左连续与右连续的定义是这样的：

（以下出自原话 课本p57页）

如果Lim（x->x0-）=f(x0-)存在且等于f(x0),  即f(x0-)=f(x0),那么就说函数在这点左连续，重点是f(x0-)=f(x0)，也就是说f(x0)必然应该是存在的且等于f(x0-)才能说函数在这点左连续。楼上这个例子给的f(x0)都不存在，别说等于f(x0-)了。

书上还说：在区间每一点都连续的函数叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间内连续，如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续。

最近刚开始在复习考研数学，对这个问题也很困惑，然后上网搜的答案乱七八糟，看到这个答案的时候一开始以为是对的，但是很纳闷点反对的人很多，于是自己去看课本才发现问题。所以这些概念的问题还是得回归到课本啊，你要讨论左连续 右连续与函数连续的关系，结果什么叫左连续都没搞清楚，只是主观的认为在那点的去心左领域连续就是左连续，去心右连续就是右连续 ，那这种问题真的没法分析，只能说还是得回归课本啊。共勉~