Question

三角形ABC中，a,b,c分别是角A、B、C的对边，x=(2a+c,b) y=(cosB,cosC)

三角形ABC中，a,b,c分别是角A、B、C的对边，x=(2a+c,b) y=(cosB,cosC)，且向量xy的数量积等于0
（1）求角B的大小
（2）若b=根号3，求a+c的最大值

Answer 1

1.（2a+c)cosB+bcosC=0
由余弦定理得：（2sinA+sinC)cosB+cosCsinB=0
由三角函数和与差公式得：2sinAcosB+sinA=0
2cosB+sinA=0
B为120
2.延长AB到D使BD=BC，则：
a+c=AD,∠D=∠B/2=60°
在△ADB中：
b/sinD=AD/sin∠ACD
a+c=(b/sinD)sin∠ACD
∠ACD=90°,max(a+c)=2

Answer 2

1.（2a+c）cosB+sinBcosC=0
(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0
打开括号，化简得
2sinAcosB+sinA=0
约分得B=120
2.不会答案是2

Answer 3

x*y=(2a+c)cosB+bcosC
=2acosB+ccosB+bcosC
=2acosB+a=0,
∴cosB=-1/2,B=120°。
由余弦定理，3=b^2=a^2+c^2+ac>=3ac,
∴ac<=1,a^2+c^2=3-ac,
向量BA*BC=cacosB=-ac/2
∴(向量BA+BC)^2=BA^2+2BA*BC+BC^2=c^2-ac+a^2
=3-2ac>=1,当a=c=1时取等号，
∴|向量BA+BC|的最小值是1.