Question

用函数极限的定义证明

希望有格式
麻烦了
万分谢谢

Answer 1

(1)令f(x)=(2x+3)/3x，由于|f(x)-A|=|f(x)-2/3|=|1/x|，
任意ε>0，要证存在M>0，当|x|>M时，不等式|(1/x)-0|<ε成立。
因为这个不等式相当于1/|x|1/ε.由此可知，如果取M=1/ε，那么当|x|>M=1/ε时，不等式|1/x-0|∞时，limf(x)=2/3.

(3)小弟不才，此题不会。。。
其他网友的解答：
[x-2]<δ。-δ<x-21-δ>0
[1/(x-1)-1]=[2-x]/[x-1]<δ/(1-δ)=ε，可以设δ=ε/(1+ε)。
下面用ε-δ语言来证明x趋近2时，1/(x-1)的极限是1。
对任意小的0<ε<1，取a=ε/(1+ε)。
当[x-2](1+ε)时，ε>[x-2](1+ε)=[x-2]+[x-2]ε，[x-2]<ε(1-[x-2])，
[1/(x-1)-1]=[x-2]/[x-2+1]<[x-2]/(1-[x-2])<ε。
所以，x趋近2时，1/(x-1)的极限是1。

(4)如果这题极限为2的话，可以这样证明：
函数在点x=1是没有定义的，但是函数当x->1时的极限存在或不存在与它并无关系。事实上，任意ε>0，将不等式|f(x)-2|<ε约去非零因子x-1后，就化为|x-1|<ε，因此，只要取δ=ε，那么当0<|x-1|<δ时，就有|f(x)-2|<ε.所以，原极限成立。

Answer 2

用定义证明极限实际上是格式的写法,依样画葫芦就是：
　　证 对任意 ε>0,要使
　　　　|(2x+1)-5| = 2|x-2| < ε,
只需 |x-2|<ε/2,取 η = ε/2,则当 0<|x-2|<η 时,有
　　　　|(2x+1)-5| = 2|x-2| < 2η = ε,
得证.