Question

高二数学题 等比数列

1.已知等比数列{an}中an＞0，a1+a2+....+a8=4,a1*a2*....*a8=16,则1/a1+1/a2+...+1/a8的值为？
2.等比数列{an}中，a3=12,a2+a4=30,a10=?
3.在8/3和27/2之间插入三个数，使五个数成等比数列，求插入的三个数得乘积
请列出详细的解题方案

Answer 1

1.解：
∵{an}为等比数列，∴an=a1*q^(n-1)
设bn=1/an,则bn=1/a1×q^(1-n)
∴b(n+1)/bn=q^[1-(n+1)]/q^(1-n)=q^(-1)
∴{bn}为等比数列
前8项和=b1[1-q^(-8)]/[1-q^(-1)]
=1/a1×(q^8-1)/(q^8-q^7)
又∵a1+a2+..+a8=a1(1-q^8)/(1-q)=4,∴1-q^8=4(1-q)/a1
∵a1*a2*...*a8=(a1*a8)^4=16,∴a1*a8=2,即a1²*q^7=2
∴前8项和=[1/a1×4(q-1)/a1]/[q^8-q^7]
=4(q-1)/[a1²q^7*q-a1²q^7]
=4(q-1)/[2q-2]
=2

2.解：
∵{an}是等比数列，∴a2a4=a3²=144，a2+a4=30
利用韦达定理，设a2,a4是方程x²-30x+144=0的两根，解出x1=6,x2=24
当a2=6,a4=24时，q²=a4/a2=4,∴a10=a4*q^6=a4*(q²)³=1536
当a2=24,a4=6时，q²=a4/a2=1/4，∴a10=a4*(q²)³=1/16

3.解：设这3个数依次是a,b,c
8/3,a,b,c,27/2成等比数列
∴8/3×27/2=b²，即b²=36，∴b=±6
∵ac=b²=36
∴abc=±6³=±216

Answer 2

我才读初中

Answer 3

2，a2*a4=a3^2=144,又a2+a4=30,可以求出a2与a4,再求公比q,再求a10.不过，你给出的数字太一般啦，不好计算。
3，设插入的三个数位a,b,c,根据等比数列的性质，ac=8\3*27\2=36,又b^2=ac=36,所以b=6
所以abc=216