Question

大学数学空间解析几何的题目，求教谢谢，见图片

Answer 1

解：（1）vl={2,1,2},设l的垂面在x0,y0,z0处与l'的交点P的距离为最小值a；则有：

2(x-x0)+(y-y0)+2(z-z0)=0....(i),   满足直线l：x0+1=2(y0+3)=z0-2...(2),得:x0=2y0+5;    z0=2y0+8;代入式(ii),得：2x+y+2z-2(2y0+5)-y0-2(2y0+8)=2x+y+2z-9y0-26=0...(iii);    交于 l':-3(x-2)=4(y-1)=12(z-3)....(iv),得：x=-4(z-3)+2=-4z+14,    y=3(z-3)+1=3z-8;（iii),(iv)两式联立求解,得：2(-4z+14)+3z-8+2z-9y0-26=-3z-6-9y0=0;    z=-3y0-2;    x=4z+14=4(-3y0-2)+14=-12y0+6,    y=3z-8=3(-3y0-2)-8=-9y0-14;

(x-x0)=(-12y0+6)-(2y0+5)=-14y0+1;    y-y0=-9y0-14-y0=-10y0-14;    z-z0=-3y0-2-(2y0+8)=-5y0-10;    （x-x0)^+(y-y0)^+(z-z0)^2=(-14y0+1)^2+(-10y0-14)^2+(-5y0-10)^2=196y0^2-28y0+1+100y0-280y0+196+25y0^2+100yo+100

=321y0^2-208y0+297=a^2;  即321y0^2-208y0+(293-a^2)=0....(v);

Δ=4(-104)^2-4*321*(297-a^3)=4(321a^2-84521)>=0;a^2>=263+98/321,

a^2最小的整数为289;在整数范围内amin=17；看来此题纸可以做定性分析，不可以定量分析。为此进行坐标平移和旋转，使vl与z轴同向，以便于分析空间曲面和直线。设新的坐标为O'-x'y'z'；

vl'·vl={-4,3,1}·{2,1,2}=-8+3+2=-3;√[(-4)^3+3^2+1]=√26;令: 二向量的夹角 vl,^vl'=θ, cos(π-θ)=-1/√26,  cosθ=1/√26;  sinθ=5/√26; 在新坐标中的直线l为x=y=0;    设新的向量： Vl=√[2(2^2)+1]k=3k, Vl'={0,5,1}；vl'对于旋转的向量族，有：    Vl'={5cosψ,5sinψ,1}；当ψ=0时，Vl'={5,0,1};Vl^0={0,0,1}

对于垂直于直线l的每一个截面，都有：(x'cosψ)^2+(y'sinψ)^2=(2+z'/sinθ)^2；所以这是一个双曲面函数所形成的旋转体。见下图。为了使vl‘·vl为正数，图中调整了vl’的方向。θ

(2) 从图中可以看出，只有当截取高度等于2的截面在z'=+/-1时，旋转体的体积最小。

对于半径最小值为2的曲面来说，在平面x=2做切面与旋转体的截面形成两条的以x轴为对称的交叉直线，直线l'的向量分别为：Vl'={0,5t,t}和Vl'={0,-5t,t}，当z长度为t时，x=2，y=5t，所以曲面是有下列参数方程组成的曲面:x=√[4+25t^2/26)cosψ,  

y=√[4+25t^2/26)sinψ,    z=t;    它等价于在yOz平面直线z=1/5y+2,绕z轴旋转一周的体积（祖暅原理）；

2*2π∫(0,1)(1-y)dz=4π∫(0,1)[1-5(z-2)]dz=4π∫(0,1)(11-5z)dz=4π(11z-5z^2/2)=34π。

修改：直线方程是：z=k(y-2),当z=0时，y=2;z=1时，y=5；则k=1/3；所以这个旋转直线的方程为：z=(1/3)(y-2);(因为2是横轴的截距，不是纵轴的截距)：y=3z+2;    积分式：V=2π∫(0,1)[5^2-y^2)dz=4π∫(0,1)[25-(3z+2)^2]dz=4π∫(0,1)(-9z^2-12z+21)dz

=2π(-9z^2/3-6z^2+21z)(0,1)=2π(-9+21)=24π。对不起。