Question

函数f(x)定义域为[a,b],且b>-a>0,则F(X)=f(x)-f(-x)的定义域是多少

Answer 1

F(X)=f(x)-f(-x)要有意义，则要求里面的f(x)和f(-x)都要有意义，即x和-x都要在[a,b]中，则a≤x≤b，且a≤-x≤b
解得a≤-x≤b为x≥-a且x≤-b
由条件b>-a>0知，-b<a
综合a≤x≤b，x≥-a且x≤-b，加上条件b>-a>0,-b<a知，x的定义域该是[-a,b]

这种问题解法很固定，通过这次解题，记住就可以了，不管F(X)等于任何f(x)都是一样的求法，比如这里面把F(X)=f(x)-f(-x)改成F(X)=f(mx+n)-f(cx+d)什么的，也是要求mx+n，-cx+d在x的定义域[a,b]中，然后根据上面的方法来求

再举个例子，f(x)定义域为[a,b]，而F(X)=f(ax2+b)+f(2x-1)的定义域，
这也要求ax2+b，和2x-1都要在[a,b]里面
也就是说，不管f(x)括号里面的解析式怎么变，都是一样的做法，都要在x的定义域内

Answer 2

f(x)有意义，那么 a<=x<=b
f(-x)有意义，那么a<=-x<=b ∴ -b<=x<=-a
F(x)定义域是f(x)和f(-x)定义域的交集
∵b>-a>0
∴b>-a>0>a>-b
∴他们的交集是
a<=x<=-a
所以定义域是[-a,a]