Question

一个有趣的数列题

看到一个有趣的数列｛an｝，a1=1，a2=22，a3=333，...，an=nnnnn...，求Sn。谁可以得出结论。再说明一下：当n=10的时候，a10=10101010101010101010，其他以此类推，即a1001=10011001...1001等等。

Answer 1

得出的结论，就是：
这个数列的第几项，就是几个连续出现的几。例如，
第三项就是
a3=3*100+3*10+3*1
=3*111,
第k项ak=k*111…11,（k个1），

Answer 2

这个数列看着有趣，但是当n的位数发生变化的时候就不怎么有趣了。
1，22，333，...，999999999。 这里1-9都是1-9位数，但是到了a10，画风突变了，不是10位数了，而是一个20位的数。同理，从2位数变成3位数，也会发生跳跃式的变化。
所以，Sn应该不是一个简洁的表达式，而是一个比较复杂的分段函数。因此它肯定没有什么简洁的美感

追问

哈哈，还是你看懂了

Answer 3

这个数列的的通项公式我们可以写成：
An=n·10^0+n·10^1+n·10^2+……+n·10^(n-1)
求前n项的和时，我们可以发现：
个位=1+2+3+4+……+n
十位=2+3+4+……+n
百位=3+4+……+n
……
第m位=n(n+1)/2-m(m-1)/2
所以：
Sn=[n(n+1)/2]·10^0 + [n(n+1)/2-1]·10^1 + ……
+ [n(n+1)/2-m(m-1)/2]·10^(m-1) + ……
+ n·10^(n-1)