Question

级数难题求解

Answer 1

详细过程是，(1)题，设an=1/√n。∵lim(n→∞)an=0，an>a(n+1)，∴交错级数∑[(-1)^(n-1)]an满足莱布尼兹判别法的条件，∴∑[(-1)^(n-1)]/√n收敛。又，∑丨[(-1)^(n-1)an丨=∑1/√n，是p=1/2<1的p-级数，发散。∴级数∑[(-1)^(n-1)]/√n收敛，且条件收敛。
(2)题，∵na∈R时，-1≤sinna≤1，∴-∑1/n≤∑sinna/n≤∑1/n。而，-∑1/n、∑1/n均是p=2>1的p-级数，收敛。∴级数∑sinna/n收敛，且绝对收敛。
(3)题。∵lim(n→∞)[(-1)^(n+1)]n/(2n+1)=lim(n→∞)[(-1)^(n+1)]/2≠0，∴由级数收敛的必要条件可知，级数发散。
(4)题，设an=n/3^n。∵lim(n→∞)an=0，an/a(n+1)=3(n+1)/n>1，∴an>a(n+1)。∴交错级数∑[(-1)^(n-1)]an满足莱布尼兹判别法的条件，∴∑[(-1)^(n-1)]/n/3^n收敛。又，∑丨[(-1)^(n-1)an丨=∑n/3^n。视“∑n/3^n”为“S(x)=∑nx^n在x=1/3的特例”，知其收敛。∴∑[(-1)^(n-1)]/n/3^n收敛，且绝对收敛。
(5)题，分子有理化，原式=∑[(-1)^(n-1)]/[√(n+1)+√n]。又，n→∞时，√(n+1)~√n。∴原式与级数(1/2)∑[(-1)^(n-1)]/√n等价。仿(1)可得，知∑[(-1)^(n-1)][√(n+1)-√n]收敛，且条件收敛。
供参考。

Answer 2

这个其实也很简单的

第一个应该是条件收敛 第二个绝对收敛第三个是发散的
直接根据那些判别法就可以来直接去判别这些无穷级数了

Answer 3

貌似不难，都一眼能感觉出来结果。