Question

级数难题求解答

Answer 1

1题。对标准型幂级数∑(an)x^n，an≠0，n=0,1,2，……，∞，求收敛半径R、收敛区间和收敛域的通常步骤均为：①ρ=lim(n→∞)丨a(n+1)/an丨；②收敛半径R=1/ρ；③收敛区间，lim(n→∞)丨a(n+1)x^(n+1)/(anx^n)丨=丨x丨/R<1，丨x丨<R。④收敛域。讨论x=±R时，原级数是否收敛。收敛时收敛域取端点值，否则不取。
(1)，ρ=1，R=1，收敛区间丨x丨<1。x=1时，是交错级数，满足莱布尼兹判别法条件，收敛；x=-1时，可转化为p=1的p级数，发散。∴收敛域为-1<x≤1。(2)，ρ=0，R=∞，收敛区间、收敛域均为x∈R。(3)，ρ=1/3，R=3，收敛区间丨x丨<3。x=-3时，是交错级数，满足莱布尼兹判别法条件，收敛；x=3时，是p=3的p级数，收敛。∴收敛域为-3≤x≤3。(4)，原式=∑(2x)^n。显然，收敛区间、收敛域均为丨x丨<1/2。(5)小题，ρ=1，R=1，收敛区间x<1。x=±1时，均发散。∴收敛域为-1<x<1。(6)，ρ=∞，R=0，收敛区间丨x+1丨=0。∴收敛域为x=-1。(7)，ρ=1，R=1，收敛区间丨x-2丨<1。x=1时是交错级数，满足莱布尼兹判别法条件，收敛；x=-1时可转化为p=1/2的p级数，发散。∴收敛域为1≤x<3。(8)，ρ=2，R=1/2，收敛区间x²<2。x=±√2时，均发散。∴收敛域为-√2<x<√2。
2题，(1)仿前述1题之法，可得其收敛域，-1<x≤1。令S(x)=∑[(-1)^n](x^n)/n。∴S(0)=0。对x求导有S'(x)=-∑(-x)^(n-1)=-1/(1+x)。∴S(x)=∫(0,x)S'(x)dx=-ln(1+x)。(2)，仿前(1)，得其收敛域，-1<x<1。令S(x)=∑nx^(n+1)。∴S(x)=x²[∑x^n]'=x²[x/(1-x)=x²/(1-x)²。(3)，仿前(1)得收敛域，-1≤x≤1。令S(x)=∑[x^(n+1)]/[(n+1)n]。两次对x求导，S''(x)=∑x^(n-1)=1/(1-x)。显然S(0)=S'(0)=0。两次积分，有S(x)=(1-x)ln(1-x)+x。
3题，设S(x)=1+∑[(-1)^n](x^2n)/(2n)。收敛域为，x²≤1。两边对x求导，有S'(x)=∑[(-1)^n]x^(2n-1)=(1/x)∑(-x²)^n=-x/(1+x²)①。∴两边积分，S(x)=1-(1/2)ln(1+x²)。由①可知，S(x)有驻点x=0。而S(0)=1、S(±1)=1-(1/2)ln2。∴S(x)有极大值1、极小值1-(1/2)ln2。
供参考。