Question

不等式问题：

a、b为正实数，a+b=1,求(a+1/a)(b+1/b)的最小值？

将题中的1用a+b=1代替，感觉还是不行

Answer 1

解：
由均值不等式
(a+b)^2≥4ab
ab≤1/4
ab的取值范围为(0,1/4]

(a+1/a)(b+1/b)
=(a^2+1)(b^2+1)/ab
=(a^2b^2+a^2+b^2+1)/ab
=[a^2b^2+(a+b)^2-2ab+1]/ab
=(a^2b^2-2ab+2)/ab
=[(ab-1)^2+1]/ab
随ab增大，(ab-1)^2减小,[(ab-1)^2+1]/ab单调递减。ab=1/4时取得最小值。
最小值为[(1/4-1)^2+1]/(1/4)=25/4

Answer 2

a=1/2-t
b=1/2+t
代入整理，令x=t^2,就可以变简单了，能计算了。
Try it！

Answer 3

因为a、b为正实数，a+b=1，所以
0<a<1,0<b<1
(a+1/a)(b+1/b)=(1+ 1/a )(1+ 1/b )=1+ 1/a + 1/b + 1/ab
=1+ (b+a)/ab + 1/ab （1）
因为a+b=1，所以
（1）=1+ 2/ab
因为0<a<1,0<b<1，所以
0<ab<1
→1/ab>1
→1+ 2/ab>3
所以(a+1/a)(b+1/b)的最小值为3，且取不到……

Answer 4

(a+1/a)(b+1/b)

=(a²+1)(b²+1)/ab

=(a²b²+a²+b²+1)/ab

=[a²b²+a²+b²+(a+b)²]/ab

=[a²b²+2(a²+b²)+2ab]/ab

=ab+2(a/b+b/a)+2

≥ab+2*[2√(a/b*b/a)]+2

=ab+6

等号当且仅当a/b=b/a，即a=b=1/2时成立

则(a+1/a)(b+1/b)≥ab+6=1/2*1/2+6=25/4

所以：(a+1/a)(b+1/b)最小值为25/4