Question

求解一道高二数学题

求解答，要步骤

Answer 1

设A(x1，y1)，B(x2，y2)
①当斜率存在时，AB在直线y=kx+b上
将y=kx+b代入抛物线中：(kx+b)²=2px
k²x²+2kbx+b²-2px=0
k²x² + (2kb - 2p)x + b²=0
根据韦达定理：x1+x2=(2p - 2kb)/k²
x1x2=b²/k²
则y1y2=(kx1 + b)(kx2 + b)
=k²x1x2 + kb(x1+x2) + b²
=k²•(b²/k²) + kb•[(2p-2kb)/k²] + b²
=b² + (2pb - 2kb²)/k + b²
=2b² + 2pb/k - 2b²=2pb/k
∵OA⊥OB
∴kOA • kOB=-1
则y1/x1 • y2/x2=-1
即：y1y2 + x1x2=0
∴2pb/k + b²/k²=0
(2pbk + b²)/k²=0
∴2pbk + b²=0
b(2pk + b)=0
∴b=0或b=-2pk
当b=0时，直线过原点O，与已知条件矛盾，舍去
∴b=-2pk
将b代回直线中：y=kx-2pk=k(x-2p)
∴直线过定点(2p，0)
②当直线斜率不存在时，直线为x=t，(t>0)
与抛物线方程联立：y²=2pt
解得：y1=√2pt，y2=-√2pt
∵OA⊥OB且根据抛物线的对称性
∴t=√2pt
两边平方：t²=2pt
t(t - 2p)=0
∴t=0(舍)或t=2p
即：直线x=2p
综合①②得：AB过一定点(2p，0)

Answer 2

设A点坐标(m^2/(2p), m)，B点坐标(n^2/(2p), n)
因为OA垂直OB,
所以：m/[m^2/(2p)] * n/[n^2/(2p)] = -1
4p^2/(mn) = -1
mn = -4p^2
而AB的直线方程为：
y=[2p(m-n)/(m^2-n^2)] * [x - m^2/(2p)] + m = [2p/(m+n)]*[x - m^2/(2p)] + m
=[2p/(m+n)]x - [m^2/(m+n)] + m
=[2p/(m+n)]x + [mn/(m+n)]
=[2p/(m+n)]x - [4p^2/(m+n)]
=[2p/(m+n)]*(x-2p)
无论m和n如何变化，显然(2p,0)总是这个直线方程上的点
也就是AB过一定点

Answer 3

确定是原题？

Answer 4

如图

Answer 5

由对称性易知：该定点若存在，必定位于OX轴上，不妨设为M(m，0)，且m > 0
在抛物线上取点P(m，n)，则 n^2 ＝2pm
抛物线(连续)上必存在点Q，使OQ⊥OP，由对称性知该Q只能为(m，－n)
注意M为直角三角形OPQ斜边中点，则 n ＝m
从而m^2＝2pm，解得 m＝2p
最后验证如下：经M作直线X＝KY＋2p，与
抛物线 Y^2＝2pX交于两点PQ，其纵坐标满足
Y^2 －2pKY－4p^2＝ 0，按韦达定理有
Y1Y2＝－4p^2；注意X1＝(Y1)^2 / 2p，X2同理
可知X1X2＝(Y1Y2)^2 / 4p^2＝4p^2，正好满足垂直条件X1X2＋Y1Y2＝0，即OP与OQ垂直，且PQ经过M。
在抛物线上，任给P≠O，仅存在唯一的Q使得OQ⊥OP，故该Q必为前述所求，其PQ经过M