Question

高一数学题 高手进啊

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R)满足下列条件：①当x∈R 时，f(x)的最小值为0；②当x∈(0,5)时，x≤f(x)≤2｜x-1｜+1恒成立. (1)求f(1)；（2）求f(x)的解析式；（3)若f(x)在区间[m-1,m]上恒有｜f(x)-x｜≤1,求实数m的取值范围

Answer 1

条件不够，如果“条件①当x∈R 时，f(x)的最小值为0”改为“当x属于R时，f(x)的最小值为0，且f(x-1)=f(-x-1)成立，”则可以做。

（1）由条件② 当x=1时，，x<=f(x)<=2|x-1|+1即
1<=f(1)<=1,所以f(1)=a+b+c=1 (式1)
（2）由条件①f(x-1)=f(-x-1)得
f(x)=f(-x-2)
所以f(x)对称轴x=-b/2a=-1 (式2)
再由条件①当x∈R 时，f(x)的最小值为0，得
f(x)min=f(-1)=a-b+c=0 (式3)

联立(式1)(式2)(式3)三个方程，
解得 a=1/4 b=1/2 c=1/4
所以 f(x)=1/4*（x+1)^2

（3）设g(x)=|f(x)-x|=|1/4（x+1)^2-x|=1/4(x-1)^2，原题等价于g(x)=1/4（x-1)^2的最大值小于等于1。由于g(x)是开口向上的抛物线，讨论其在某区间上的最大值，可以考虑区间上的两端点到对称轴的距离，距离更大者，其函数值就是最大值。
当m<=3/2时,则g(x)max=g(m-1)=1/4(m-2)^2<=1,解得-1<=m<=3/2;
当m>=3/2时，则g(x)max=g(m)=1/4(m-1)^2<=1,解得
3/2<=m<=3
综上所述，-1<=m<=3。

Answer 2

｜x-1｜+1恒成立？ 错了吧？

Answer 3

(1)当x∈(0,5)时，x≤f(x)≤2｜x-1｜+1恒成立，令x=1，1<=f(1)<=1,故f(1)=1
(2)f(1)=1,a+b+c=1,当x∈R 时，f(x)的最小值为0,所以a>0，且f(x)与x轴必相切，

b^2-4ac=0,当x∈(0,5)时，x≤f(x)≤2｜x-1｜+1恒成立,

Answer 4

(1)当x∈(0,5)时，x≤f(x)≤2｜x-1｜+1恒成立，令x=1，1<=f(1)<=1,故f(1)=1
(2)与f(1)=1对称的点为f(-b-1)=1,再加b^2-4ac=0三式联立求解，的a，b，c
（3）代入即可

Answer 5

由条件，易得
a>0(f(x)有最小值),
b^2=4ac（f(x)的最小值为0）,
a+b+c=1（1≤f(1)≤2｜1-1｜+1）,
√a+√c=1(由前三式得),
所以，f(x)=[√a(x-1)+1]^2,
当1<x<5时，有[√a(x-1)+1]^2=f(x)≥x
即2/[√(2x-1)+1]≥√a≥1/(√x+1)在1<x<5时成立
令x趋向1，得√a≥1/2，
令x趋向5，得√a≤1/2，
(由初等函数的连续性不难得出取极限是可行的)
所以√a=1/2,
所以f(x)=(x^2)/4+x/2+1/4
下面就容易了
据我所知，这道题的各种解法都必须用到连续性和极限
这样的概念。有些办法虽然不明说，但也已经隐含这两
个知识点，所以是超出高一水平的。(如果你发现不需要
这两个知识点而能解出来的请告诉我)