Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85.n属于正整数

1。证明{an-1}是等比数列
2。求数列{an}的通项公式an和前n项和Sn

Answer 1

1.Sn=n-5an-85
Sn-1=n-1-5a(n-1)-85
an=Sn-Sn-1=1-5an+5a(n-1)
则 6an=5a(n-1)+1
∴ 6an-6=5a(n-1)-5
即 (an-1)/[a(n-1)-1]=5/6
所以，数列{an-1}是以5/6为公比的等比数列

2.a1=S1=1-5a1-85 得 a1=-14
∵数列{an-1}是以a1-1=-15为首项，5/6为公比的等比数列
∴an-1=-15×(5/6)^(n-1)
故 an=1-15×(5/6)^(n-1)
Sn=n-5an-85
=n-5+75×(5/6)^(n-1)-85
=n+75×(5/6)^(n-1)-90
=n+90×(5/6)^n-90