Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85,n属于N*＿证{an-1}为等比数列，和Sn通项公式

速求正解

Answer 1

Sn=n-5an-85
S(n-1)=n-1-5a(n-1)-85
两式相减，得an=1-5an+5a(n-1)
即6an-6=5a(n-1)-5
即{an-1}是等比数列，公比为5/6
而S1=1-5a1-85=a1
得a1=-14
所以an-1=-15*(5/6)^(n-1)
an=1-15*(5/6)^(n-1)
Sn=n-5an-85=n-5+75*(5/6)^(n-1)-85
=75*(5/6)^(n-1)+n-90

Answer 2

由Sn=n-5an-85，可得：
Sn-S(n-1)=1-5(an-a(n-1))；

即： 6an=1+5a(n-1)；
即： 6(an-1)=5(a(n-1)-1)
故an-1为等比数列，有an-1=(5/6)^(n-1)(a1-1)；
对Sn=n-5an-85取n=1得：
a1=1-5a1-85，得：a1=-14；
故an=1-15*(5/6)^(n-1)=1-18*(5/6)^n，
Sn=n-5an-85=n-90+90(5/6)^n

Answer 3

Sn=n-5an-85 (1)
S（n+1）=n+1-5a（n+1）-85 (2)
(2)-(1)整理得6a(n+1)=1+5an
即a(n+1)-1=(5/6)(an-1)
又由S1=a1=1-5a1-85得a1=-14
所以{an-1}为首项-15,公比5/6的等比数列
所以an=(-15)*（5/6）^(n-1)+1
Sn=(-15)*[(5/6)^0+(5/6)^1+……+(5/6)^(n-1)]+n
=[6-6*(5/6)^(n-1)]*(-15)+n
则S(n+1)-Sn=6*15[(5/6)^n-(5/6)^(n-1)]+1
=1-15*(5/6)^(n-1)>0
又n∈N*
得n>=16
故S（n+1）>Sn成立的最小整数n为16