Question

请教一个问题：已知函数f(x)=x3-x在【0，a】上是单调减函数，在【a，+无穷大）上是单调增函数，求a的值.

Answer 1

设△x>0为x的增量
因为x>0,函数在a>0单调增加,则必有
f(a+△x)-f(a)>0

f(a+△x)-f(a)
=(a+△x)^3-(a+△x)-(a^3-a)
=3a^2△x+3a△x^2+△x^3-△x
=△x^2(3a+△x)+(3a^2-1)△x

所以
f(a+△x)-f(a)=△x^2(3a+△x)+(3a^2-1)△x

两边同时除以△x
得到
(f(a+△x)-f(a))/△x=△x(3a+△x)+(3a^2-1)
当△x足够小时,△x(3a+△x)接近0

(f(a+△x)-f(a))/△x>=0
只要使(3a^2-1)〉=0
所以3a^2-1〉=0
a>=√3/3 或a=<-√3/3
因为a>0
所以a=√3/3

Answer 2

用导数容易获得解答：
令f'(x)=3x²-1=0得x=±√3/3，显然，应取a=√3/3。

Answer 3

应该是f(x)=x^3-x吧？
对f(x)求导，
f’(x)=2x^2-1
0，a]上递减，在[a,+无穷大）上递增,所以：
f’(a)=2a^2-1=0
,
a=2^(-0.5)
（二分之根号二）

Answer 4

求导后:f'(x)=3x^2-1
x= 3分之根号3
所以a=3分之根号3

Answer 5

求f(x)的导函数=3x^2-1,求出极值点即可，因为a>0的，所以a=三分之根号三