Question

已知实数a,b,c满足a+b+c = 9,则代数式（a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2的最大值是

Answer 1

已知a^2+b^2+c^2=9，求(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2的最大值；
解：展开，得
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
=2(a^2+b^2+c^2)-(2ab+2bc+2ca)
=2(a^2+b^2+c^2)-[(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)]
=3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2
=27-(a+b+c)^2
。要使上式取得最大值，就要使(a+b+c)^2最小，但(a+b+c)^2≥0，最小为0，所以
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
≤27。
最大值为27。
注：最大值当a+b+c=0时取得