Question

交换积分次序

Answer 1

交换累次积分 ∫一到二dx ∫2-x到根号2x-x方 f(x，y)dy的积分顺序的技巧：看红色箭头，先穿越直线，所以x=2-y是下限，再穿越曲线，所以x=1+√(1-y^2)是上限。

积分区域如图阴影部分是2-x≤y≤√(2x-x^2)。当改变积分次序时，y的下限为2-x，上限呢通过圆的方程确定：(x-1)^2+y^2=1，x=1+√(1-y^2)，x得上下限为0 ~1。

交换积分次序的方法：

1、先画出积分区域的草图，并解出联立方程的交点坐标。

2、尽可能一次性地积分积出来最好，也就是说，积分区域最好是一个联通域，在这个联通域内，不需要将图形分块。就是一次性先从左到右然后从上到下积分，或一次性先从上到下然后从左到右积分。

Answer 2

交换积分次序的要义是画出积分所在区域。

前一项积分是先积y后积x，y的范围是0到1，x要求小于等于y，因此积分区域就是(0,0),(0,1),(1,1)构成的三角形，交换后先积x，因此x的积分上下限是0到1，y的积分上下限是x到1。这样就完成了交换。

后面一项也是同样的方法，先画出积分区域，不难得到是(1,0),(2,0),(1,1)三点围成的三角形。因此交换后x的积分上下限是1到2，y的积分上下限是0到2-x。

Answer 3

如图所示

Answer 4

Answer 5

我一项积分是先积y后积x，y的范围是0到1，x要求小于等于y，因此积分区域就是(0,0),(0,1),(1,1)构成的三角形，交换后先积x，因此x的积分上下限是0到1，y的积分上下限是x到1。这样就完成了交换。