Question

已知关于X的一元二次方程8X^2-(m-1)x+m-7=0 m为何值时,方程有一个根为0

1 m为何值时，方程有一根为0？
2 m为何值时，方程的两个根互为相反数？
3 是否存在这样的实数m，使方程的两个根互为倒数？若存在，请求出m的值，如不存在请说明理由。

过程详细点 分数不会低的！！！
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已知关于X的一元二次方程8X^2-(m-1)x+m-7=0

1 m为何值时，方程有一根为0？
2 m为何值时，方程的两个根互为相反数？
3 是否存在这样的实数m，使方程的两个根互为倒数？若存在，请求出m的值，如不存在请说明理由。

Answer 1

方程8x²-(m-1)x+m-7=0 (*)

1．若方程(*)有一个根为0，
则8×0²-(m-1) ×0+m-7=0，
得m=7；
（本小题也可从图象角度考虑，当方程的一个根为0时，函数y=8x²-(m-1)x+m-7的图象过原点，所以常数项为0，即得m=7）

2．设方程(*)的两根分别为s，t，
则由根与系数的关系（韦达定理）知，s+t=(m-1)/8，
由题意，s，t互为相反数，
∴s+t=0，即(m-1)/8=0，
得m=1，
经检验，m=1符合题意；
（本小题也可从图象角度考虑，当方程的两个根互为相反数时，函数y=8x²-(m-1)x+m-7的图象的对称轴为y轴，所以一次项的系数为0，即得m=1）

3．设方程(*)的两根分别为s，t，
则由根与系数的关系（韦达定理）知， st=(m-7)/8，
由题意，s，t互为倒数，
∴st=1，即(m-7)/8=1，得m=15，
此时，方程(*)为4x²-7x+4=0，其判别式△=49-64= -15<0，
即方程无解，∴m=15不符合题意，
故不存在实数m，使得方程(*)的两根互为倒数.

Answer 2

1.当且仅当常数项为0时，方程有一根为0。由m-7=0得m=7;
2.方程两根互为相反数的充要条件是△>0，并且常数项<0;
由 △=(m-1)²-4*8*(m-7)＞0
或者 m²-34m+225＞0
得 m＜9 或者 m＞25
由 m-7＜0 得 m＜7
综上述，当m＜7时，方程两根互为相反数；
3.方程两根互为倒数的充要条件是△>0，并且常数项/二次项系数=1
不等式△>0已在前面解得 m<9 或者 m>25 ----（1）
由 (m-7)/8=1 解得 m=15 -----------------（2）
因为 （1）、（2）没有公共解，所以不存在使方程两根互为倒数的m值

Answer 3

韦达定理（根与系数关系）
(m-1)/8=X1+X2 , (m-7)/8=X1*X2
1.方程有一根为0,两根之积为零
(m-7)/8=0 ，
m=7
2.方程的两个根互为相反数，两根之和为零
(m-1)/8=0，
m=1
3.假设存在两根互为倒数，两根之积为1.
(m-7)/8=1 ，m=15
方程为8x²-14x+8=0
△=14²-4*8*8 <0 ，无解，相互矛盾
所以假设不成立。
所以不存在。