Question

已知定义在（0，+∞）上的函数f(x)对任意x,y∈ (0,+∞),恒有f(xy)=f(x)+f(y)，且当0<x<1时f(x)>0，判断f(x

已知定义在（0，+∞）上的函数f(x)对任意x,y∈ (0,+∞),恒有f(xy)=f(x)+f(y)，且当0<x<1时f(x)>0，判断f(x)在（0，＋∞）上的单调性。

Answer 1

令x=y=1 得f(1)=2*f(1) 即f(1)=0
f(x * 1/x) = f(1) = f(x) + f(1/x);得f(x) = -f(1/x);
对于0<x<y<1,有f(y)-f(x) = f(y)+f(1/x) = f(y/x);
而 y/x > 1 因此，f(y/x) < 0 即f(y) < f(x);
综上:f(x)在(0,+∞)单调递减

Answer 2

设0<x<y<1
f(xy/x)=f(x)+f(x/y)
所以f(y)-f(x)=f(x/y)
因为0<x<y<1
所以f（x/y）∈ (0,+∞)
所以f(y)-f(x)>0 又y>x
所以f(x)在(0,1)上为增
设x=y=1
所以f(1)=2f(1)=0
则f(x)在(0,1)上的值恒小于零
设xy=1,0<y<1
则f（xy）=f(1)=f(y)+f(1/y)
因为f(y)<0
所以f（1/y）>0
所以f（x）在定义域内单调递增。

Answer 3

任取x,y>0，且x>y
则f(y)=f(x)+f(y/x)
0<y/x<1
所以f(y/x)>0
所以f(y)>f(x)
f在(0,+∞)上单调递减