Question

已知定义在(0,+∞)上的函数f(x),对任意x,y∈(0,+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y),且当0<x<1时，f(x)>0.

(1)证明：当x>1时，f(x)<0.
(2)判断函数f(x)的单调性并加以证明。
（3）如果去任意x,y∈（0，+∞），f(x^2+y^2)≤f(a)+f(xy)恒成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

1，令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0，
当0<x<1时，令y=1/x，则f(1)=f(x)+f(1/x)=0，
所以f(1/x)=-f(x)<0.
2，减函数。
设x>y>0，则f(x)-f(y)=f(x)+f(1/y)=f(x/y)，因为x/y>1，所以上式<0.
3，首先a>0，
f(a)+f(xy)=f(axy)>=f(x^2+y^2)，
f(x)减函数，所以axy<=x^2+y^2，即a<=min{(x^2+y^2)/xy}，
由均值不等式 (x^2+y^2)/xy>=2，当x=y时取等号。
所以，0<a<=2

追问

令y=1/x，则f(1)=f(x)+f(1/x)=0，
为什么 所以f(1/x)=-f(x)<0.

追答

当00，所以-f(x)<0

Answer 2

(1),(2):
令x=y=1 得f(1)=2*f(1) 即f(1)=0
f(x * 1/x) = f(1) = f(x) + f(1/x);得f(x) = -f(1/x);
对于0<x<y<1,有f(y)-f(x) = f(y)+f(1/x) = f(y/x);
而 y/x > 1 因此，f(y/x) < 0 即f(y) < f(x);
综上:f(x)在(0,+∞)单调递减
f(x)=-f(1/x), 1>x>0, 1/x>1 那么 可知f(1/x)<0
(3)
f(a)+f(xy)=F(axy),函数递减可得 x^2+y^2>=axy 又x^2+y^2>=2xy 所以 要满足前式 a<=2