Question

求证：在平行四边形ABCD中，AC²＋BD²＝2﹙AB²＋AD²﹚

Answer 1

您好！这个题目如果您是初中做的话就难了，高中的话就简单。此题运用高中知识余弦定理。
答：已知平行四边形ABCD
AC
BD为其对角线。
根据余弦定理，则有：
AC²=AB²+BC²-2AB*BC*cos∠ABC
BD²=BC²+DC²-2BC*DC*cos∠BCD
因为∠ABC和∠BCD互补（平行四边形性质），所以有cos∠BCD=-cos∠ABC
而BC=AD
DC=AB
所以AC²＋BD²=AB²+BC²+BC²+DC²
即等于2AB²+2AD²=2﹙AB²＋AD²﹚
所以AC²＋BD²＝2﹙AB²＋AD²﹚
如果有更简单的方法，麻烦告诉我，谢谢。

Answer 2

可以由特殊的平行四边形——长方形和正方形入手，很容易得出以上结论！
证明：如图
过a，d两点做bc边的高，垂足分别为e、f
则△ade≌△dcf
be=cf，ae=df
利用勾股定理得到
bd²=bf²+df²
bd²=（bc+cf）²+df²
=bc²+2*bc*cf+cf²+df²
ac²=ae²+ce²
=ae²+（bc—be）²
=ae²+bc²-2*bc*be+be²
所以bd²+ac²=（bc²+2*bc*cf+cf²+df²）+（ae²+bc²-2*bc*be+be²）
=2*bc²+2（cf²+df²）
=2*bc²+2*cd²
=bc²+ad²+ab²+cd²