Question

2/(1*2*3)+2/(2*3*4)+2/(3*4*5)+...+2/(98*99*100) (简便计算）

Answer 1

看规律，每一项都是
n*(n+1)*(n+2)/2.
　　打开括号等于
(n^3)/2+3*(n^2)/2+n
　　所以计算上式相当于计算
　　(1+2+3+…+98+99+100）+3/2*(1^2+2^2+3^2+4^2+…99^2+100^2)+
　　(1^3+2^3+3^3+…99^3+100^3)/2
　　从1一直加到n的和的公式
=n(n+1)/2
　　
1^2一直加到n^2也有
=n(n+1)(2n+1)/6
　　
1^3一直加到n^3依稀记得也有
=(n(n+1)/2)^2
　　带入进去n=100就能求出来了

Answer 2

三项的我还真头一次做。。
先拆分数，
2/[n(n+1)(n+2)]
=2[(1/n)-(2/(n+1))+(1/(n+2))]
所以原式就可以变成
2[(1/1-2/2+1/3)+(1/2-2/3+1/4)+...+(1/98-2/99+1/100)]
=2[(1+1/2+1/3+...+1/98)-2(1/2+1/3+...+1/99)+(1/3+1/4+...+1/100)]
设x=1/2+1/3+...+1/99，则上式可以写成
2[(x+1-1/99)-2x+(x+1/100-1/2)]
=2(1-1/2-1/99+1/100)
=2(1/2-1/9900)
=1-1/4950
=4949/4950