Question

已知实数x,y满足关系:x2+y2-2x+4y-20=0(1)求x2+y2的范围（2）x/y的范围（3）x+y的最大值

Answer 1

方程其实是一个以点M（1，-2）为圆心，半径为5的圆的方程。设X=5sinA+1,Y=5cosA-2.问题1求的是圆上的点到原点距离的平方的最大值和最小值。问题2求的是过原点和圆上任意点的直线的斜率的倒数。范围是负无穷到到正无穷。问题3，5乘以根号2减去1

Answer 2

这样的问题有一种通法，就是高等数学中的条件极值（拉格朗日乘数法），
本文先使用一下，不会的高中生可以去看看高等数学中的介绍。先构造辅助的二元函数 。方法一： f(x,y)=x²+y²+ λ（x²+y²-2x+4y-20）
对二元函数 f(x,y)求一阶偏导数并令其为0，偏x， f′=2x+2λx-2λ=0 ①
对二元函数 f(x,y)求一阶偏导数并令其为0，偏y, f′=2y+2λy+4λ=0 ②
①÷②有 解出 y=-2x ， 将 y=-2x代入x²+y²-2x+4y-20=0中求出x=1±√5
即y=-2(1±√5 ).到这里求x²+y²的范围就直接代入计算 【30+6√5，30+10√5】 。同理可以求出其它的式子，只是辅助函数分别为f(x,y)=x/y+ λ（x²+y²-2x+4y-20）和f(x,y)=x+y+ λ（x²+y²-2x+4y-20）
这是这一类问题的通法。
初等方法也很多，方法二：显然可以用数形结合法，将配方x²+y²-2x+4y-20=0后它是一个原点在（1，-2）半径为5的圆，具体解法就是楼上的方法（这样的方法应该都是高中数学老师讲烂的方法，难道还不知道？）。
方法三，（x-1)²+（y+2)²=25 两边同时除以25后有，（x-1)²/25 +(y+2)²/25=1，如此，可以用三角代换，令（x-1)/5=sinα ，(y+2)/5=cosα
分别解出x=5sinα+1，y=5cosα-2，代入x+y中化简为x+y=5（sinα+cosα)-1=5√2cos(α-π/4)-1到这里,最大最小值应该知道了.
在网上解答数学问题真的是浪费时间和无聊的表现.