Question

在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC的中点,E是AB边上一动点,求EC+ED的最小值.

Answer 1

要求最短距离，在初中里无非是利用两点之间线段最短。而这要运用到轴对称。
做D关于AB对称于点E。所以CE=EC+ED的最小值
所以易得：三角形DBE是等腰直角三角形，三角形CBE是直角三角形。
又易得：DB=BE=1
CB=2
所以利用勾股定理得：CE=根号5
即：EC+ED的最小值=根号5
若有不明白的，再问我！

Answer 2

在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是？
解：过D作DP⊥AB ，P为垂足；再将DP 延长一倍至F，使PF=DP；连接CF与AB相交于E，那么
这个位置就是使EC+ED最小的位置；此时：
EC+ED=EC+EF=CF=√[CD²+DF²-2CD×DFcos∠CDF]
其中，CD=1，DF=2DP=2DBcos45°=√2，cos∠CDF=cos135°=-cos45°=-√2/2，代入上式即得：(EC+ED)min=CF=√[1+2+2×1×(√2)×(√2)/2]=√(1+2+2)=√5
下面证明√5是EC+ED的最小值。
现在偏离所取的位置在AB上任找一点E′，连接CE′，DE′，FE′，按作图法，AB是DF的垂直平分线，故CE′+DE′=CE′+FE′>CF=√5(CE′E是三角形，三角形两边之和必大于第三边).