Question

若a>b>e，证明b^a>a^b

Answer 1

要证b^a>a^b
只需证明ln(b^a)>ln(a^b)
即：alnb>blna
又：a>b>e
则：lna>lnb>1
所以只需证明lnb/b>lna/a即可
令f(x)=lnx/x
f'(x)=(1-lnx)/x^2
当lnx>1即x>e时，f'(x)<0为减函数
故a>b>e时，f(a)<f(b)
即lnb/b>lna/a
故原命题得证

Answer 2

要证b^a>a^b
只需证明ln(b^a)>ln(a^b)
即：alnb>blna
又：a>b>e
则：lna>lnb>1
所以只需证明lnb/b>lna/a即可
令f(x)=lnx/x
f'(x)=(1-lnx)/x^2
当lnx>1即x>e时，f'(x)<0为减函数
故a>b>e时，f(a)<f(b)
即lnb/b>lna/a
故原命题得证

Answer 3

设f(x)=x^(1/x),x>e
两边取对数然后求导得
lnf(x)=(1/x)lnx,
(1/f(x))df/dx=(-1/x^2)lnx+1/x^2=(1/x^2)*(1-lnx)
故得df/dx=f(x)*(1/x^2)*(1-lnx)=x^(1/x)*(1/x^2)*(1-lnx)
由x>e,得lnx>1,1-lnx<0,故得df/dx<0,于是f(x)=x^(1/x)在x>e时是递减的,故当a>b>e时,b^(1/b)>a^(1/a),于是得b^a>a^b.

Answer 4

alnb>blna
又：a>b>e
则：lna>lnb>1
所以只需证明lnb/b>lna/a即可
令f(x)=lnx/x
f'(x)=(1-lnx)/x^2
当x>e时
lnx>1
f`(x)<0
故该函数在(e,正无穷)上递减
既f(b)>f(a)
lnb/b>lna/a
既(lnb/lna)*(a/b)>1
故alnb/blna>1
既lnb^a/lna^b>1
lnb^a>lna^b
b^a>a^b
既lnb^a