Question

1.已知函数y1=x, y2=x2+bx+c, A,B为方程y1-y2=0的两个根，点M(t,T)在函数y2的图象上。 1）若A=1/3，B=1/2

1.已知函数y1=x, y2=x2+bx+c, A,B为方程y1-y2=0的两个根，点M(t,T)在函数y2的图象上。

1）若A=1/3，B=1/2，求函数y2的解析式。

2）在1）的条件下，若函数y1和y2的图象的两个交点P，Q，当⊿PQM的面积为1/123时，求t的值。

3）若0＜A＜B＜1,当0＜t＜1时，试确定T、A、B三者之间的大小关系，并说明理由

Answer 1

A,B为方程x^2+(b-1)x+c的两个根.
韦达定理，A+B=1-b，AB=c。
1）
若A=1/3，B=1/2，则b=c=1/6. 得y2=x^2+(x+1)/6.
2）
将两根代入y1=x，得P(1/3,1/3), Q(1/2,1/2), |PQ|=sqrt(2)/6.
又M(t,t^2+(t+1)/6), 有|PM|=|t-1/3|sqrt(t^2+t+5/4),|QM|=|t-1/2|sqrt(t^2+4t/3+13/9).
记w=(|PQ|+|PM|+|QM|)/2,由海伦公式
S=sqrt[w(w-|PQ|)(w-|PM|)(w-|QM|)]=1/123.
解之得t=5/12+sqrt(25297)/492,或5/12-sqrt(25297)/492.
(ps,给的条件有问题吧？这么不好算的数字)
3）
y2=x^2+(1-A-B)x+AB, T=t^2+(1-A-B)t+AB.
T-A=(1+t-B)(t-A), T-B=(1+t-A)(t-B).
若0＜A＜B＜1,0＜t＜1，则1+t-B>0,1+t-A>0.
当0＜t<A＜B＜1时, T<A<B.
当0＜A<t＜B＜1时, A<T<B.
当0＜A＜B＜t<1时, A<B<T.