Question

二次函数f(x)=ax2+bx+c(a不等0),若f(0)=1,且f(x+1)-f(x)=1-2x，求f(x)的零点

Answer 1

首先：因为f(0)=1。则a*0+b*0+c=1,则c=1。
而f(x+1)-f(x)=1-2x。当x=0时，有：f(1)-f(0)=1，即f(1)=2。
则当x=1时，有f(2)-f(1)=1-2=-1。则f(2)=-1+f(1)=-1+2=1。
而f(1)=a+b+c=2，f(2)=4a+2b+c=1，c=1。解得：a=-1.b=2。
则f(x)=-x^2+2x+1。f(x)有零点，即存在x使得-x^2+2x+1=0，即:x^2-2x-1=0。
则用求根公式得:x1=[2+(4+4)^0.5]/2=1+2^0.5或者x2=[2-(4+4)^0.5]/2=1-2^0.5

Answer 2

将x
=
0代入可和c
=
1，
在f(x
+
1)
-
f(x)
=
1
-
2x中令x
=
0得
f(1)
=
2，即a
+
b
+
c
=
2所以a
+
b
=
1；
再令x
=
1得
f(2)
-
f(1)
=
-1,f(2)
=
1即4a
+
2b
+
c
=
1
2a
+
b
=
0；所以a
=
-1，
b
=
2，f(x)
=
-x^2
+
2x
+
1
于是可解得f的零点是-1+根号2
或
-1-根号2