Question

求教大神：可导函数的极值点和拐点可以在同一点取得吗？

Answer 1

你好，极值点和拐点在该点不可导时是可以在同一点取得的，但在该点可导时是无法同时取得的。

Answer 2

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怡情小子
的帖子
呵呵，lz有兴趣，我还是很高兴能和lz探讨下证明过程的那我们就从Fermat引理开始吧
证：
1、有Fermat引理可知，可导函数在x=x0点处取极值，则f
‘（x0）=0
又导函数不存在第一类间断点，且f
‘（x0）=0，则存在X0某一邻域U(X0),使得f
’（x）在这一领域内连续
因为函数在x=x0点处取极值，且f
’（x）在U(x0)这一领域内连续,所以f
’（x）在x=x0点左右异号
所以f
’（x）在x=x0点处不是U(x0)这一领域内的极值
但由拐点定义可知，若在x=x0取拐点，则f
’（x0）是f
’（x）在U(x0)领域的极值，这与上述矛盾
故可导函数f（x）在x=x0点取极值就不能成为拐点
2、同理，若在f（x）在x=x0取拐点，则f
’（x）在x=x0处取极值，f
’（x）在U(x0)领域内同号，所以f（x）在U(x0)领域是单调的，根据极值点定义，故x=x0点不是极值点
综合一二，可导函数f（x）在x=x0点取极值就不能成为拐点，可导函数f（x）在x=x0点是拐点就不能成为极值点，故可导函数的极值点和拐点不可以在同一点取得。
证毕
这里说明两个问题：
1、在证明过程中，有用到“导函数不存在第一类间断点”、“
若f
’（x）在U(x0)这一领域内连续，函数在x=x0点处取极值，则f
’（x）在x=x0点左右异号”这两个命题。在严格证明中，对于没有证明的命题应先证明然后才能使用。这两个命题是可以证明的，但限于篇幅，此处略去
2、“函数的极值点和拐点不可以在同一点取得”是在“函数可导”的前提在证明的。但在”不可导“的情况下“函数的极值点和拐点是可以在同一点取得”的。

Answer 3

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怡情小子
的帖子呵呵，lz有兴趣，我还是很高兴能和lz探讨下证明过程的那我们就从Fermat引理开始吧证：1、有Fermat引理可知，可导函数在x=x0点处取极值，则f
‘（x0）=0又导函数不存在第一类间断点，且f
‘（x0）=0，则存在X0某一邻域U(X0),使得f
’（x）在这一领域内连续因为函数在x=x0点处取极值，且f
’（x）在U(x0)这一领域内连续,所以f
’（x）在x=x0点左右异号所以f
’（x）在x=x0点处不是U(x0)这一领域内的极值但由拐点定义可知，若在x=x0取拐点，则f
’（x0）是f
’（x）在U(x0)领域的极值，这与上述矛盾故可导函数f（x）在x=x0点取极值就不能成为拐点2、同理，若在f（x）在x=x0取拐点，则f
’（x）在x=x0处取极值，f
’（x）在U(x0)领域内同号，所以f（x）在U(x0)领域是单调的，根据极值点定义，故x=x0点不是极值点综合一二，可导函数f（x）在x=x0点取极值就不能成为拐点，可导函数f（x）在x=x0点是拐点就不能成为极值点，故可导函数的极值点和拐点不可以在同一点取得。
证毕这里说明两个问题：1、在证明过程中，有用到“导函数不存在第一类间断点”、“
若f
’（x）在U(x0)这一领域内连续，函数在x=x0点处取极值，则f
’（x）在x=x0点左右异号”这两个命题。在严格证明中，对于没有证明的命题应先证明然后才能使用。这两个命题是可以证明的，但限于篇幅，此处略去2、“函数的极值点和拐点不可以在同一点取得”是在“函数可导”的前提在证明的。但在”不可导“的情况下“函数的极值点和拐点是可以在同一点取得”的。