Question

已知非零实数a，b，c，且14【a²+b²+c²】=【a+2b+3c】²，求a，b，c

是a:b:c

Answer 1

由柯西不等式
(a+2b+3c)²≤(1²+2²+3²)·(a²+b²+c²)
=14(a²+b²+c²)(当且仅当a/1 = b/2 = c/3时取“=”)
于是a:b:c=1:2:3

如果没有学过柯西不等式，可以这样：

x²+2ax+a²≥0 ……①
4x²+4bx+b²≥0 ……②
9x²+6cx+c²≥0 ……③
现在有13x²+2(a+2b+3c)x+(a²+b²+c²)=0的判别式△=0.
于是①、②、③式同时取“=”，解得
x=a,x=b/2,x=c/3
于是a:b:c=1:2:3.