Question

高一数学。函数的。高手指教，谢谢。

已知函数F（X）=ax平方+(3+a)x+3，其中a∈R，a≠0
是否存在a使得函数F（x）在【-1，4】上的最大值是4，若存在，求出a的值，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：

f(x)=ax²+(3+a)x+3，a≠0

函数图象是抛物线，

对称轴是x=-(3+a)/(2a)，

顶点的坐标是(-(3+a)/(2a)，3-(3+a)²/(4a))

f(x)=(x+1)(ax+3)

函数与x轴的两个交点分别为x=-1和x=-3/a

分类讨论：

(1)a＞0

A) 0≤a≤3时，f(x)在[-1,4]上单调递增，f(x)max=f(4)=16a²+4a+15=4,

得,16a²+4a+11=0，无解

B)a≥3时，f(x)的对称轴在区间[-1,0]内，结合函数的对称性，得

f(x)max=f(4)=16a²+4a+15=4，无解

(2)a＜0

A)当-(3+a)/(2a)≤4，即a≤-1/3时,函数在顶点处取得最大值f(x)max=3-(3+a)²/(4a)=4，

得a²+10a+9=0，解得a=-1或-9

B)当-(3+a)/(2a)≥4，即0＞a≥-1/3时,函数在区间[-1,4]上单调递增，f(x)max=f(4)=16a²+4a+15=4，无解

综上所述，当a=-1或-9时可满足题意

如有疑问请百度hi针对此题来问，

谢谢

Answer 2

存在。 A=-21/20

Answer 3

F(X)=a[x+(3+a)/2a]^2+3-(3+a)^2/4a

1.当a<0时，分三种情况
(1).对称轴在[-1，4]之间，F(X)max=3-(3+a)^2/4a=4,解得a=-9或a=-1，且此时-1<=-(3+a/2a)<=4,得a<=-1,则a=-9和a=-1都满足题意；
(2).对称轴在[-1，4]左侧，即-(3+a/2a)<=-1时，此时F(X)max=F(-1)=4，a无解
(3).对称轴在[-1，4]右侧，即-(3+a/2a)>=4时，此时F(X)max=F(4)=4，解得a=-11/20满足题意；

2.当a>0时,有两种情况
(1).对称轴x=-(3+a/2a)<=(-1+4)/2,此时F(X)max=F(4)=4，a无解
(2).对称轴x=-(3+a/2a)>=(-1+4)/2,此时F(X)max=F(-1)=4.a无解
综上，存在a，当a=-9或a=-1或a=-11/20时符合题意。