已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形
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(1)设PA=AD=12,AB=6
∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=12
∵∠ABC=60°,∴馀弦定理得AC=6√3
勾股定理逆定理得∠BAC=90°,即AB⊥AC
∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥AB,PA⊥AC
以A为原点,AB,AC,AP为坐标轴建系
则B(6,0,0),C(0,6√3,0),P(0,0,12),D(-6,6√3,0)
E是PC中点→E(0,3√3,6)
|PF|=2|FD|,即F分线段PD的比为2,由定比分点坐标公式得F(-4,4√3,4)
AF→=(-4,4√3,4),AC→=(0,6√3,0)
面ACF法向量为n→=AC→×AF→=(24√3,0,24√3)
BE→=(-6,3√3,6)
∵BE→·n→=-6*24√3+0+6*24√3=0,∴BE→⊥n→
∴BE∥面ACF
(2)∵PA⊥AC,PA⊥AD,∴∠CAD=30°是二面角C-PA-D的平面角,∴sinCAD=1/2
勾股定理得PC=6√7,∴sinCPA=√3/√7
设PC与面PAD所成角为θ,由三正弦定理得sinθ=sinCPAsinCAD=√21/14
∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=12
∵∠ABC=60°,∴馀弦定理得AC=6√3
勾股定理逆定理得∠BAC=90°,即AB⊥AC
∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥AB,PA⊥AC
以A为原点,AB,AC,AP为坐标轴建系
则B(6,0,0),C(0,6√3,0),P(0,0,12),D(-6,6√3,0)
E是PC中点→E(0,3√3,6)
|PF|=2|FD|,即F分线段PD的比为2,由定比分点坐标公式得F(-4,4√3,4)
AF→=(-4,4√3,4),AC→=(0,6√3,0)
面ACF法向量为n→=AC→×AF→=(24√3,0,24√3)
BE→=(-6,3√3,6)
∵BE→·n→=-6*24√3+0+6*24√3=0,∴BE→⊥n→
∴BE∥面ACF
(2)∵PA⊥AC,PA⊥AD,∴∠CAD=30°是二面角C-PA-D的平面角,∴sinCAD=1/2
勾股定理得PC=6√7,∴sinCPA=√3/√7
设PC与面PAD所成角为θ,由三正弦定理得sinθ=sinCPAsinCAD=√21/14
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图为信息科技（深圳）有限公司
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