设x>0，y>0。证明：xlnx+ylny>(x+y)ln[(x+y)/2]
1个回答
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这道题应该还有个条件，那就是x≠y，不然当x=y时，左边=2xlnx=右边
令f(t)=tlnt
(t>0)
f'(t)=lnt+1
f''(t)=1/t>0
所以f(t)是凹函数
所以[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2]
(xlnx+ylny)/2>(x+y)/2*ln[(x+y)/2]
xlnx+ylny>(x+y)ln[(x+y)/2]
令f(t)=tlnt
(t>0)
f'(t)=lnt+1
f''(t)=1/t>0
所以f(t)是凹函数
所以[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2]
(xlnx+ylny)/2>(x+y)/2*ln[(x+y)/2]
xlnx+ylny>(x+y)ln[(x+y)/2]
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