Question

已知F是椭圆x^2/4+y^2/3=1的右焦点,A(1,1)为椭圆内的一定点,P为椭圆上的动点.(1)

Answer 1

(1)设椭圆的左焦点为F1（-1,0);
右焦点F（1,0）；由椭圆的第一定义知道：|PF1|+|PF|=2a=4;
即：|PF|=4-|PF1|;所以：|PA|+|PF|=|PA|+4-|PF1|=4+|PA|-|PF1|
连接AF1并延长交椭圆于两点，设离A点较近的交点为P，则此时：|PA|-|PF1|=-|AF1|=-√5最小；
所以|PA|+|PF|的最小值为：4-√5；
（2）这一问只能用椭圆的第二定义做：
已知椭圆的离心率为1/2;缉氦光教叱寄癸犀含篓
据椭圆的定义：|PF|/P点到右准线的距离=e=1/2;
所以：P点到右准线的距离=2|PF|;
要使|PA|+2|PF|最小，即就是P点到A点与到右准线的距离之和最小；
过A点向椭圆的右准线x=4作垂线，交椭圆于两点，其中靠近右准线的那个点，就是要求的P点；
此时P点到A点与到右准线的距离之和最小且等于A（1,1）到右准线x=4的距离=3