Question

如图，边长是2的正方形ABCD的各个顶点都在圆O上，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E。

(1)∠E=___。
（2）写出图中现有的一对不全等的三角形，并说明理由。
（3）求弦DE的长。
DE是连结的。
应该是不全等的相似三角形。

Answer 1

）△ACP∽△DEP，（4分）
理由：∵∠AED=∠ACD，∠APC=∠DPE，
∴△ACP∽△DEP．（6分）

（3）方法一：
∵△ACP∽△DEP，
∴APDP=
ACDE．（7分）
∵AP=AD2+DP2=
5，AC=AD2+DC2=2
2，（9分）
∴DE=2
105．（10分）
方法二：
如图2，过点D作DF⊥AE于点F，
在Rt△ADP中，AP=AD2+DP2=
5．（7分）
又∵S△ADP=12AD•DP=12AP•DF，（8分）
∴DF=2
55．（9分）
∴DE=2DF=2
105．（10分）

Answer 2

解析：

(1)

圆周角相等

∴∠AED=∠ACD=45°

(2)

不全等的三角形很多，不全等的相似三角形有这个：

△APC和△DPE相似，但是不全等，

证明：

∠PAC=∠PDE，∠PCA=∠PED

∴△PAC∽△PDE，

∵AC是直径，DE是不过圆心的弦

∴AC＞DE，即两个相似三角形的对应边不相等，

∴△PAC和△PDE不全等

(3)

根据第二问得到的△PAC∽△PDE，可以得到比例关系式

DE/AC=DP/AP

∵AC=2√2，DP=(1/2)CD=1，AP=√(AD²+DP²)=√5

∴DE=AC*DP/AP=2√2/√5=(2/5)√10

谢谢

Answer 3

分析：（1）由圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，知∠E=∠ACD=45°．
（2）由∠AED=∠ACD，∠APC=∠DPE，知△ACP∽△DEP．
（3）由△ACP∽△DEP，知
APDP=
ACDE，由边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，AP=
4+1=
5，AC=
4+4=2
2，由此能求出DE．解答：解：（1）∵圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，
∴∠ACD=45°，
∴∠E=∠ACD=45°，
故答案为：45°．
（2）△ACP∽△DEP，
理由：∵∠AED=∠ACD，
∠APC=∠DPE，
∴△ACP∽△DEP．
（3）∵△ACP∽△DEP，
∴APDP=
ACDE，
∵边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，
∴AP=
4+1=
5，
AC=
4+4=2
2，
∴DE=AC•DPAP=2
2×15=2
105．点评：本题考查与圆有关的比例线段的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．