Question

设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2,且a1、Sn+1、4Sn成等差数列，（1）求｛an｝的通项公式

（2）、求Sn，并求lim Sn/（ t^n） 其中t为正常数

题目中那个 Sn+1 中 是 n+1项，不是Sn加上1

Answer 1

解：(1)已知a1=2,且a1、S(n+1)、4Sn成等差数列
所以2S(n+1)=2+4Sn
故S(n+1)=2Sn+1
所以S(n+1)+1=2Sn+2=2(Sn+1)
所以{Sn+1}是以S1+1=a1+1=2+1=3为首项，2为公比的等比数列
所以Sn+1=3*2^(n-1)
所以Sn=3*2^(n-1)-1
当n≥2时，an=Sn-S(n-1)=3*2^(n-1)-1-[3*2^(n-2)-1]=3*2^(n-2)
所以｛an｝的通项公式是an=2....(n=1)
=3*2^(n-2)....(n≥2)
(2)在第一问中已求出Sn=3*2^(n-1)-1
所以limSn/(t^n)=lim[3*2^(n-1)-1]/(t^n)
要分类讨论：
当0＜t＜2时
limSn/(t^n)=lim[3*2^(n-1)-1]/(t^n)→∞
当t=2时
limSn/(t^n)=lim[3*2^(n-1)-1]/(t^n)=lim3*2^(n-1)/(2^n)=lim3/2=3/2
当t＞2时
limSn/(t^n)=lim[3*2^(n-1)-1]/(t^n)=(3/t)*lim2^(n-1)/(t^(n-1))=(3/t)*lim(2/t)^(n-1)=0