Question

已知函数f（x）=x3-x2-x+1，①若f（x）在区间（a，a+1）上单调递减...

已知函数f（x）=x3-x2-x+1， ①若f（x）在区间（a，a+1）上单调递减，求实数a的取值范围． ②若过点P（0，t）可作函数f（x）图象的三条切线，求实数t的取值范围． ③设点A（0，1），m＞0，记点M（m，f（m）），求证：在区间（0，m）内至少有一实数b，使得函数f（x）图象在x=b处的切线平行于直线AM．

Answer 1

解：①函数f（x）=x3-x2-x+1的导数为f′（x）=3x2-2x-1=3（x-1）（x+13），
则f（x）在(-∞，-13)上增，(-13，1)上减，（1，+∞）上增，
由于f（x）在区间（a，a+1）上单调递减，
则a+1≤1a≥-13∴-13≤a≤0；
②设切点为Q(x0，x30-x20-x0+1)，斜率k=3x20-2x0-1，
则切线方程为：y-(x30-x20-x0+1)=(3x20-2x0-1)(x-x0)，
代入P点坐标有：0-(x30-x20-x0+1)=(3x20-2x0-1)(t-x0)，
∴关于x0的方程-(x0-1)(x20-1)=(3x0+1)(x0-1)(t-x0)有三个不等根，
∴方程-(x20-1)=(3x0+1)(t-x0)有两个不为1的不等根．
上方程化为：2x20-(3t-1)x0+1-t=0．
由△=（3t-1）2-4×2×（1-t）＞0有，t＜-1或t＞79
将x0=1代入求得t=1，
实数t的取值范围是(-∞，-1)∪(79，1)∪(1，∞)；
③直线AM的斜率为kAM=m2-m-1，
在x=b处的切线斜率为f′（b）=3b2-2b-1，即3b2-2b-m2-m=0，
考查关于b的方程3b2-2b-m2-m=0在区间（0，m）内的根的情况．
令g（x）=3b2-2b-m2-m，对称轴b=13g(13)=-m2+m-13=-(m-12)2-112＜0
∴（1）当0＜m＜12时，g（0）＞0，g（m）＜0，∴方程g（b）=0区间（0，m）内有一实根；
（2）当12≤m＜1时，g(0)＞0，g(13)＜0，∴方程g（b）=0区间(0，13)内有一实根；
（3）当m≥1时，g(m)＞0，g(13)＜0，∴方程g（b）=0区间(13，m)内有一实根．
综上，方程3b2-2b-m2-m=0在区间（0，m）内至少有一实根，
故在区间（0，m）内至少有一实数b，
使得函数f（x）图象在x=b处的切线平行于直线AM．